ЗАДАЧА ТИПА РОБИНА ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ С СИНГУЛЯРНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
А. Тунгатаров, Г.К. Рзаева
КазНУ им.аль-Фараби, Казахстан, г.Алматы

Пусть ,  .
В области  G  рассмотрим уравнение
	,				       (1)
где   действительное число,  
однородная функция первого порядка, причем 
                               .
Уравнение  (1)  при    рассмотрено в [1], где получено бесконечное множество линейно независимых решений однородной задачи Дирихле в единичном круге. Частные виды уравнения (1) имеют многочисленные применения в математической физике, дифференциальной геометрии и механике [1,2,3]. Дифференциальные операторы из (1) в полярной системе координат записываются в виде
  	
								       (2)
	Применяя эти формулы, уравнение (1) запишем в полярной системе координат
     (3)
	Решения уравнения (1) из класса
    				                                (4)
будем искать в виде 	
						       (5)
где  новая неизвестная функция из класса  
	Подставив функцию, заданную по формуле (5), в уравнение (3), получим 
		     (6)
	Пусть  фундаментальная система решений уравнения (6) при  которая существует в силу того, что коэффициенты уравнения (6) непрерывны  в . Методом вариации произвольных постоянных уравнение (6) приводим к интегральному уравнению
           ,					      (7)
где            

, как  вронскиан фундаментальной системы решений уравнения (6) при .
	Используем следующие функции и операторы:

Действуя оператором    на равенство (7), получаем новое выражение для .  Это выражение обратно подставляя в (7), имеем 
	       (8)
	Опять действуя оператором  на равенство (8), получим новое выражение для  Это выражение снова подставляем в (7):
 
	Продолжая эту процедуру n раз, получим интегральное представление для 
		       (9)
Имеют место следующие оценки:
									      (10)
где  
 			     Переходя  к  пределу в (9) при  используя при этом оценки (10), получим
,					     (11)
где  
,     ,

Из формул (5) и (11) следует
			    (12)
 Используя свойства функций  можно показать, что функция , определяемая по формуле (12), принадлежит классу (4) и удовлетворяет уравнению (1). Следовательно имеет место следующая теорема.
Теорема. Уравнение (1) имеет многообразие решений из класса (4), которое определяется по формуле (12).
	 Рассмотрим краевую задачу типа Робина для уравнения (1).
Задача R. Найти решение уравнения (1) в классе (4), удовлетворяющее граничным условиям       
   			  	      (13)
где заданные действительные числа.
Решение задачи. Для решения задачи используем формулу (12). Из вида функции   следует 
	      			      (14)
Если подставим функцию  заданную по формуле (12), в граничные условия (13), то с учетом (14) получим

Так как   то решение этой системы существует и определяется по формулам 

Полученные значения   подставляем в (12):
	       (15)
Таким образом справедлива 
Теорема 2. Задача R  имеет единственное решение в виде (5), которое определяется по формуле (15).
Литература
1.	Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.:Наука 1981. 448с.
2.	Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции. –М.:ГИФМЛ, -1959. 616с.
3.	Усманов З.Д. Бесконечно малые изгибания поверхностей положительной кривизны с точкой уплощения //Differential Geometry. Banah Center Publications. –Warsaw. 1984. V. 12. –P.241-272.